Bài 3.5 trang 164 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Câu a​

a) \(\int {(1 - 2x){e^x}} dx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {(1 - 2x){e^x}} dx\)\(= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + \int {2{e^x}dx} \) \(= \left( {1 - 2x} \right){e^x} + 2{e^x} + C\)\(= \left( {3 - 2x} \right){e^x} + C\)

Câu b​

b) \(\int {x{e^{ - x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {x{e^{ - x}}dx} \)\(= - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} \)\(= - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C\)\(= - \left( {1 + x} \right){e^{ - x}} + C\)

Câu c​

c) \(\int {x\ln (1 - x)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 - x} \right)\\dv = xdx\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \dfrac{1}{{1 - x}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {x\ln (1 - x)dx} \)\(= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left({1 - x} \right)}}dx} \) \(= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\left({ - 1 - x + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx} \)
\(= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left({\left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right)dx} \) \(= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left({1 + x} \right)}^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left({1 - x} \right) + C\)
\(= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 - x} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \left({1 - x} \right) - \dfrac{1}{4}{\left({1 + x} \right)^2} + C\).

Câu d​

d) \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Ta có: \(\int {x{{\sin }^2}xdx} = \int {x.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \) \(= \int {\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}} \right)dx} \) \(= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\int {x\cos 2xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {x\cos 2xdx} \)\(= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \int {\dfrac{{\sin 2xdx}}{2}} \) \(= \dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C\)
Vậy \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \)\(= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C} \right)\)\(= \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}x\sin 2x - \dfrac{1}{8}\cos 2x + D\).