Google
Câu hỏi: \(\int {x\sqrt {x - 1} dx} \) bằng
A. \({\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + {\left({x - 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)
B. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} - 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
C. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
D. \(\dfrac{1}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
A. \({\left( {x - 1} \right)^{\dfrac{5}{2}}} + {\left({x - 1} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)
B. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} - 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
C. \(\dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
D. \(\dfrac{1}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\)
Phương pháp giải
Đổi biến \(t = \sqrt {x - 1} \) và tính nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Đặt \(t = \sqrt {x - 1} \Rightarrow {t^2} = x - 1\) \(\Rightarrow 2tdt = dx\)
Khi đó \(\int {x\sqrt {x - 1} dx} \)\(= \int {\left( {{t^2} + 1} \right). T. 2tdt} \) \(= 2\int {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt} \) \(= 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} + \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\)
\(= 2\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^5}}}{5} + \dfrac{{{{\left({\sqrt {x - 1} } \right)}^3}}}{3}} \right) + C\) \(= \dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\).
Đổi biến \(t = \sqrt {x - 1} \) và tính nguyên hàm.
Lời giải chi tiết
Đặt \(t = \sqrt {x - 1} \Rightarrow {t^2} = x - 1\) \(\Rightarrow 2tdt = dx\)
Khi đó \(\int {x\sqrt {x - 1} dx} \)\(= \int {\left( {{t^2} + 1} \right). T. 2tdt} \) \(= 2\int {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt} \) \(= 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} + \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\)
\(= 2\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^5}}}{5} + \dfrac{{{{\left({\sqrt {x - 1} } \right)}^3}}}{3}} \right) + C\) \(= \dfrac{2}{{15}}\left[ {3{{\left( {x - 1} \right)}^{\dfrac{5}{2}}} + 5{{\left({x - 1} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}} \right] + C\).
Đáp án C.