Google
Câu hỏi: Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^3}\)\(\Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Khi đó \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}} \) \(= \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C\) \(= \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C\)
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\) \(\Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)
Khi đó \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}} \)\(= - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C = - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\).
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^2}\)\(\Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).
Khi đó, \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C = - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C\)
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx\)\(\Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\) và \(x = {t^2}\).
Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\)\(= \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}. 2dt} = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt} \) \(= \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt} \)
\(= - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C\) \(= \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C\)\(= \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C\).
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\)\(\Rightarrow dt = - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} = - dt\).
Khi đó \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)\(= \int {\sin t.\left( { - dt} \right)} = \int {\left({ - \sin t} \right)dt} \) \(= \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C\)
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \ln x\)\(\Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\). Khi đó
\(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}. Dt} \)\(= \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C\)
Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \cos x\)\(\Rightarrow dt = - \sin xdx\).
Khi đó \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)\(= \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}} = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt} \) \(= - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C = - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C\) \(= - 3\sqrt[3]{t} + C = - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C\).
Câu a
a) \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx\) với \(x > - 1\) (đặt \(t = 1 + {x^3}\))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^3}\)\(\Rightarrow dt = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \dfrac{{dt}}{3}\).
Khi đó \(\int {{x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}} dx = \int {\sqrt[3]{t}.\dfrac{{dt}}{3}} \) \(= \dfrac{1}{3}\int {{t^{\dfrac{1}{3}}}dt} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{t^{\dfrac{1}{3} + 1}}}}{{\dfrac{1}{3} + 1}} + C\) \(= \dfrac{1}{4}{t^{\dfrac{4}{3}}} + C = \dfrac{1}{4}{\left( {1 + {x^3}} \right)^{\dfrac{4}{3}}} + C\)
Câu b
b) \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx\) (đặt \(t = {x^2}\))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\) \(\Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)
Khi đó \(\int {x{e^{ - {x^2}}}} dx = \int {{e^{ - t}}.\dfrac{{dt}}{2}} \)\(= - \dfrac{1}{2}{e^{ - t}} + C = - \dfrac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\).
Câu c
c) \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\) (đặt \(t = 1 + {x^2}\))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = 1 + {x^2}\)\(\Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\).
Khi đó, \(\int {\dfrac{x}{{{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx = \int {\dfrac{1}{{{t^2}}}.\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} \) \(= - \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{t} + C = - \dfrac{1}{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}} + C\)
Câu d
d) \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx\)\(\Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\) và \(x = {t^2}\).
Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{(1 - x)\sqrt x }}} dx\)\(= \int {\dfrac{1}{{\left( {1 - {t^2}} \right)}}. 2dt} = \int {\dfrac{2}{{1 - {t^2}}}dt} \) \(= \int {\left( {\dfrac{1}{{1 - t}} + \dfrac{1}{{1 + t}}} \right)dt} \)
\(= - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right| + C\) \(= \ln \left| {\dfrac{{1 + t}}{{1 - t}}} \right| + C\)\(= \ln \left| {\dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}} \right| + C\).
Câu e
e) \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\) (đặt \(t = \dfrac{1}{x}\) )Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\)\(\Rightarrow dt = - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{x^2}}} = - dt\).
Khi đó \(\int {\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}} dx\)\(= \int {\sin t.\left( { - dt} \right)} = \int {\left({ - \sin t} \right)dt} \) \(= \cos t + C = \cos \dfrac{1}{x} + C\)
Câu g
g) \(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx\) (đặt \(t = \ln x\))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \ln x\)\(\Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\). Khi đó
\(\int {\dfrac{{{{(\ln x)}^2}}}{x}} dx = \int {{t^2}. Dt} \)\(= \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\ln }^3}x}}{3} + C\)
Câu h
h) \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\) (đặt \(t = \cos x\))Phương pháp giải:
Đặt \(t = u\left( x \right)\), tính \(dx\) theo \(dt\) thay vào nguyên hàm cần tính.
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \cos x\)\(\Rightarrow dt = - \sin xdx\).
Khi đó \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\)\(= \int {\dfrac{{ - dt}}{{\sqrt[3]{{{t^2}}}}}} = \int { - {t^{ - \dfrac{2}{3}}}dt} \) \(= - \dfrac{{{t^{ - \dfrac{2}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{2}{3} + 1}} + C = - 3{t^{\dfrac{1}{3}}} + C\) \(= - 3\sqrt[3]{t} + C = - 3\sqrt[3]{{\cos x}} + C\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!