Bài 3.9 trang 165 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Tính các nguyên hàm sau đây:

Câu a​

a) \(\int {(x + \ln x){x^2}dx} \)
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(u = x + \ln x; dv = {x^2}dx\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {(x + \ln x){x^2}dx} \)\(= \dfrac{{{x^3}}}{3}\left( {x + \ln x} \right) - \int {\dfrac{{{x^3}}}{3}\left({1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx} \)
\(= \dfrac{{{x^4}}}{3} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \int {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{3}} \right)dx} \) \(= \dfrac{{{x^4}}}{3} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x - \dfrac{{{x^4}}}{{12}} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C\) \(= \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{3}\left( {\ln x - \dfrac{1}{3}} \right) + C\).

Câu b​

b) \(\int {(x + {{\sin }^2}x)\sin xdx} \)
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(u = x + {\sin ^2}x, dv = \sin xdx\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + 2\sin x\cos x} \right)dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)
Ta có:
$\begin{align} & J=-\cos x\left( x+{{\sin }^{2}}x \right)+\int{\cos x\left( 1+2\sin x\cos x \right)dx} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\int{\cos xdx+2\int{{{\cos }^{2}}x\sin xdx}} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\sin x-2\int{{{\cos }^{2}}x\,d\left( \cos x \right)} \\ & \,\,\,=-x\cos x-\cos x{{\sin }^{2}}x+\sin x-\frac{2}{3}{{\cos }^{3}}x+C \\ \end{align}$

Câu c​

c) \(\int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(u = x + {e^x}, dv = {e^{2x}}dx\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + {e^x}} \right)dx\\v = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\)
Ta có:
$\begin{aligned} & K=\frac{1}{2}\left( x+{{e}^{x}} \right){{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\int{{{e}^{2x}}\left( 1+{{e}^{x}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}\left( x+{{e}^{x}} \right){{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\int{\left( {{e}^{2x}}+{{e}^{3x}} \right)dx} \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}+\frac{1}{2}{{e}^{3x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}-\frac{1}{6}{{e}^{3x}}+C \\ & \,\,\,\,\,=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}+\frac{1}{3}{{e}^{3x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}+C \\ \end{aligned}$

Câu d​

d) \(\int {(x + \sin x)\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \).
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + \sin x\\dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 + \cos x} \right)dx\\v = \tan x\end{array} \right.\)
Ta có:
$\begin{align} & F=\left( x+\sin x \right)\tan x-\int{\left( 1+\cos x \right)\tan xdx} \\ & \,\,\,\,=\left( x+\sin x \right)\tan x-\int{\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\sin x \right)dx} \\ & \,\,\,\,=\left( x+\sin x \right)\tan x+\ln \left| \cos x \right|+\cos x+C \\ \end{align}$