Bài 3.7 trang 164 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

Câu a​

a) \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
Phương pháp giải:
Hạ bậc đưa về dạng tổng rồi tính nguyên hàm, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản \(\int {\cos kxdx} = \dfrac{{\sin kx}}{k} + C\).
Giải chi tiết:
Ta có: \({\sin ^4}x = \dfrac{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}{4}\)\(= \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)
\(= \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\) \(= \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)\)
Khi đó \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)\(= \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \) \(= \int {\left( {\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \)
\(= \dfrac{3}{8}x - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{1}{8}.\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C\) \(= \dfrac{3}{8}x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\)

Câu b​

b) \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với \(\sin x\) rồi đổi biến \(t = \cos x\) để tìm nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)\(= \int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^4}x}}dx} \) \(= \int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}}}dx} \)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\) ta có:
$\begin{align}
& I=-\frac{1}{4}\int{\left[ \frac{1}{{{\left( 1-u \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}}+\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u} \right]}du \\
& =-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{{{\left( u-1 \right)}^{2}}}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{{{\left( 1+u \right)}^{2}}}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{1-u}}-\frac{1}{4}\int{\frac{du}{1+u}} \\
& =\frac{1}{4}.\frac{1}{u-1}+\frac{1}{4}.\frac{1}{u+1}+\frac{1}{4}.\ln \left| 1-u \right|-\frac{1}{4}\ln \left| 1+u \right|+C \\
& =\frac{1}{4}.\frac{2u}{{{u}^{2}}-1}+\frac{1}{4}.\ln \left| \frac{1-u}{1+u} \right|+C \\
& =-\frac{\cos x}{2{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{4}.\ln \left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right|+C \\
& =\frac{-\cos x}{2{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{2}\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right|+C \\
\end{align}$

Câu c​

c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)
Phương pháp giải:
Đổi biến \(u = \cos x\) tính nguyên hàm.
Giải chi tiết:
\(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\).
Khi đó \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)\(= \int {{{\sin }^2}x.{{\cos }^4}x.\sin xdx} \) \(= \int {\left( {1 - {t^2}} \right).{t^4}.\left({ - dt} \right)} \)
\(= \int {\left( { - {t^4} + {t^6}} \right)dt} \) \(= - \dfrac{{{t^5}}}{5} + \dfrac{{{t^7}}}{7} + C\) \(= - \dfrac{{{{\cos }^5}x}}{5} + \dfrac{{{{\cos }^7}x}}{7} + C\).

Câu d​

d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)
Phương pháp giải:
Hạ bậc (sử dụng công thức nhân đôi) và tính nguyên hàm.
Giải chi tiết:
Ta có: \({\sin ^4}x{\cos ^4}x\)\(= {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)^4} = \dfrac{1}{{{2^4}}}{\sin ^4}2x\) \(= \dfrac{1}{{16}}{\left( {{{\sin }^2}2x} \right)^2} = \dfrac{1}{{16}}.{\left[ {\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right]^2}\)
\(= \dfrac{1}{{64}}{\left( {1 - \cos 4x} \right)^2}\) \(= \dfrac{1}{{64}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\) \(= \dfrac{1}{{64}} - \dfrac{1}{{32}}\cos 4x + \dfrac{1}{{64}}.\dfrac{{1 + \cos 8x}}{2}\)
\(= \dfrac{3}{{128}} - \dfrac{1}{{32}}\cos 4x + \dfrac{1}{{128}}\cos 8x\)
Ta có:
$\begin{align} &\int{\sin ^4{x}\cos ^4{x}dx}=\frac{1}{64}\int{\left( \frac{3}{2}-2\cos 4x+\frac{1}{2}\cos 8x \right)dx} \\ & \,\,\,=\frac{1}{64}\left( \frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\sin 4x+\frac{1}{16}\sin 8x \right)+C \\ \end{align}$