Bài 3.1 trang 163 SBT giải tích 12

Câu hỏi: Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

Câu a​

a) \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}})\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left(x \right)\).
Giải chi tiết:
Hàm số \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}})\) là một nguyên hàm của \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\) vì \(\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)} \right]'\) \(= \dfrac{{1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}\) \(= \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

Câu b​

b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g(x) = {e^{\sin x}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left(x \right)\).
Giải chi tiết:
Hàm số \(g(x) = {e^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\)
vì \(\left( {{e^{\sin x}}} \right)' = \left({\sin x} \right)'{e^{\sin x}} = \cos x{e^{\sin x}}\)

Câu c​

c) \(f(x) = {\sin ^2}\dfrac{1}{x}\) và \(g(x) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left(x \right)\).
Giải chi tiết:
Hàm số \(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)
vì \(\left( {{{\sin }^2}\dfrac{1}{x}} \right)' = 2\sin \dfrac{1}{x}.\left({\sin \dfrac{1}{x}} \right)'\) \(= 2\sin \dfrac{1}{x}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.\cos \dfrac{1}{x}\) \(= - \dfrac{1}{{{x^2}}}.\left( {2\sin \dfrac{1}{x}\cos \dfrac{1}{x}} \right)\) \(= - \dfrac{1}{{{x^2}}}\sin \dfrac{2}{x}\)

Câu d​

d) \(f(x) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \)
Phương pháp giải:
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left(x \right)\).
Giải chi tiết:
Hàm số \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) vì \(\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} } \right)'\) \(= \dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) \(= \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\)

Câu e​

e) \(f(x) = {x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}\) và \(g(x) = (2x - 1){e^{\dfrac{1}{x}}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left(x \right)\).
Giải chi tiết:
Hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}\) vì \(\left( {{x^2}{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)' = 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}\left({{e^{\dfrac{1}{x}}}} \right)'\) \(= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( {\dfrac{1}{x}} \right)'.{e^{\dfrac{1}{x}}}\) \(= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} + {x^2}.\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right).{e^{\dfrac{1}{x}}}\) \(= 2x{e^{\dfrac{1}{x}}} - {e^{\dfrac{1}{x}}} = \left( {2x - 1} \right){e^{\dfrac{1}{x}}}\)