Google
Câu hỏi: Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính \(\int {\sin x\cos xdx} \):
A. \(\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\)
B. \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)
C. \(\dfrac{{ - \cos 2x}}{4} + C\)
D. \(\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)
A. \(\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\)
B. \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)
C. \(\dfrac{{ - \cos 2x}}{4} + C\)
D. \(\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\)
Phương pháp giải
Tìm một nguyên hàm của \(\sin x\cos x\) rồi nhận xét các đáp án còn lại.
Sử dụng định lý: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) với \(C\) là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
\(\int {\sin x\cos xdx} \)\(= \int {\sin xd\left( {\sin x} \right)} \) \(= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\).
Do đó A đúng hay \(F\left( x \right) = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \sin x\cos x\).
Lại có \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C = - \dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{2} + C\)\(= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} - \dfrac{1}{2} + C\) nên \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Ta có: \(\dfrac{{ - \cos 2x}}{4} + C\)\(= \dfrac{{ - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}{4} + C\) \(= - \dfrac{1}{4} + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Do đó A, B, C đúng.
Tìm một nguyên hàm của \(\sin x\cos x\) rồi nhận xét các đáp án còn lại.
Sử dụng định lý: Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) với \(C\) là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
\(\int {\sin x\cos xdx} \)\(= \int {\sin xd\left( {\sin x} \right)} \) \(= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\).
Do đó A đúng hay \(F\left( x \right) = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \sin x\cos x\).
Lại có \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C = - \dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{2} + C\)\(= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} - \dfrac{1}{2} + C\) nên \(- \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{2} + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Ta có: \(\dfrac{{ - \cos 2x}}{4} + C\)\(= \dfrac{{ - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}{4} + C\) \(= - \dfrac{1}{4} + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).
Do đó A, B, C đúng.
Đáp án D.