Google
Câu hỏi: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\)
b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\)
c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;\)
b) \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};\)
c) \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.\)
Phương pháp giải
- Các hàm đa thức, hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
- Định lí tính liên tục của tổng của hai hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Hàm số x2 và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định
Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)
Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)
- Các hàm đa thức, hàm số lượng giác \(y = \sin x,y = \cos x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
- Định lí tính liên tục của tổng của hai hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Hàm số x2 và sinx liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Hàm số \({x^4} - {x^2}\) liên tục trên toàn bộ tập xác định
Hàm số \(\frac{6}{{x - 1}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
c) Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.\)
Hàm số \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\)
Hàm \(\frac{{x - 1}}{{x + 4}}\) liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\) và \(\left( {-4; + \infty } \right).\)
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( {-\infty ;-4} \right)\), \(\left( {-4;3} \right)\), \(\left( {3; + \infty } \right).\)