Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $3f\left( 3 \right)=-6+f\left( 1 \right)$. Biết rằng $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( \sqrt{4\ln x+1} \right)}{x\sqrt{4\ln x+1}}dx=3}$. Khi đó $I=\int\limits_{1}^{3}{xf'\left( x \right)dx}$ bằng
A. $-12$.
B. $-9$.
C. $\dfrac{-15}{2}$.
D. $0$.
A. $-12$.
B. $-9$.
C. $\dfrac{-15}{2}$.
D. $0$.
Xét $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{f\left( \sqrt{4\ln x+1} \right)}{x\sqrt{4\ln x+1}}dx=3}$,
Đặt $t=\sqrt{4\ln x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=4\ln x+1\Rightarrow 2tdt=\dfrac{4dx}{x}\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=\dfrac{tdt}{2}$.
Với $x=1\Rightarrow t=1;x={{e}^{2}}\Rightarrow t=3$.
Do đó $I=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\dfrac{dt}{2}}=3\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=6$.
Xét $I=\int\limits_{1}^{3}{xf'\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{xd\left( f\left( x \right) \right)}=\left. xf\left( x \right) \right|_{1}^{3}-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=3f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)-6=-12$.
Đặt $t=\sqrt{4\ln x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=4\ln x+1\Rightarrow 2tdt=\dfrac{4dx}{x}\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=\dfrac{tdt}{2}$.
Với $x=1\Rightarrow t=1;x={{e}^{2}}\Rightarrow t=3$.
Do đó $I=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\dfrac{dt}{2}}=3\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=6$.
Xét $I=\int\limits_{1}^{3}{xf'\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{xd\left( f\left( x \right) \right)}=\left. xf\left( x \right) \right|_{1}^{3}-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=3f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)-6=-12$.
Đáp án A.