Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int\limits_{0}^{3}{xf(x)dx}=2$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{xf(3x)dx}$
A. $\dfrac{2}{9}.$
B. $6.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $18.$
A. $\dfrac{2}{9}.$
B. $6.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $18.$
Đặt $3x=t\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{3}$. Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{xf(3x)dx}=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{t}{3}f(t)\dfrac{dt}{3}}=\dfrac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}{f(t)dt}=\dfrac{2}{9}.$
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{xf(3x)dx}=\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{t}{3}f(t)\dfrac{dt}{3}}=\dfrac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}{f(t)dt}=\dfrac{2}{9}.$
Đáp án A.