Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $xF\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3F\left( 1 \right)+G\left( 0 \right)=6$ và $F\left( 1 \right)-G\left( 1 \right)=6$. Tính $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin 2x.f}\left( {{\cos }^{2}}x \right)\text{d}x$.
A. $-2$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $-4$.
A. $-2$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $-4$.
Đặt $t={{\cos }^{2}}x\Rightarrow dt=-\sin 2xdx$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$I=\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)\left( -dt \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt=\left. tF\left( t \right) \right|_{0}^{1}=F\left( 1 \right)}$.
Ta có: $G\left( x \right)=xF\left( x \right)+C$
$\left\{ \begin{aligned}
& 3F(1)+G(0)=6 \\
& F(1)-G(1)=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3F(1)+C=6 \\
& F(1)-F\left( 1 \right)-C=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=4 \\
& C=-6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=4$.
Vậy $I=4$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$I=\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)\left( -dt \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt=\left. tF\left( t \right) \right|_{0}^{1}=F\left( 1 \right)}$.
Ta có: $G\left( x \right)=xF\left( x \right)+C$
$\left\{ \begin{aligned}
& 3F(1)+G(0)=6 \\
& F(1)-G(1)=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3F(1)+C=6 \\
& F(1)-F\left( 1 \right)-C=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 1 \right)=4 \\
& C=-6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=4$.
Vậy $I=4$.
Đáp án B.
