Google
Câu hỏi: Cho mặt phẳng \((\alpha)\) : 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng d: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)
Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha)\), hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha)\).
Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha)\), hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha)\).
Phương pháp giải
- Tìm giao điểm của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\).
- Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(d\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right]\)
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = - 2 - 3t}\end{array}} \right.\)
Xét phương trình \(2(1 + 2t) + t + (- 2 – 3t) – 1 = 0\) \(\Leftrightarrow 2t - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)
Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha)\) tại điểm \(M\left( {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\).
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; 1; 1)\) và \(\overrightarrow {{u_d}} = (2; 1; - 3)\).
Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4; 8; 0} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2; 0} \right)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = \dfrac{1}{2} - 2t}\\{z = - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\)
- Tìm giao điểm của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\).
- Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(d\) và nằm trong \(\left( \alpha \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right]\)
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = - 2 - 3t}\end{array}} \right.\)
Xét phương trình \(2(1 + 2t) + t + (- 2 – 3t) – 1 = 0\) \(\Leftrightarrow 2t - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)
Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng \((\alpha)\) tại điểm \(M\left( {2;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\).
Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; 1; 1)\) và \(\overrightarrow {{u_d}} = (2; 1; - 3)\).
Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là vecto pháp tuyến của \(\Delta \), ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}} \).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 4; 8; 0} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2; 0} \right)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = \dfrac{1}{2} - 2t}\\{z = - \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\)
