Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\);
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\).
a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\);
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\).
Phương pháp giải
a) Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, sử dụng mối quan hệ giữa hai đường thẳng song song: \(\Delta //\Delta ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = k\overrightarrow {u'} \\M \in \Delta, M \notin \Delta '\end{array} \right.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left({M,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
A) \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; 1; - 2)\)
\(\Delta '\) đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = ( - 4; - 2; 4)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a }\\{{M_0} \notin \Delta '}\end{array}} \right.\)
Vậy \(\Delta '\) song song với \(\Delta \)
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = ( - 3; 4; - 5)\), \(\overrightarrow a = (2; 1; - 2)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} ,\overrightarrow a } \right] = ( - 3; - 16; - 11)\)
\(d(\Delta ,\Delta ') = M{'_0}H = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow a |}}\)\(= \dfrac{{\sqrt {9 + 256 + 121} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {386} }}{3}\)
a) Nhận xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, sử dụng mối quan hệ giữa hai đường thẳng song song: \(\Delta //\Delta ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = k\overrightarrow {u'} \\M \in \Delta, M \notin \Delta '\end{array} \right.\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = d\left({M,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
A) \(\Delta \) đi qua điểm M0(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; 1; - 2)\)
\(\Delta '\) đi qua điểm M0’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'} = ( - 4; - 2; 4)\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a }\\{{M_0} \notin \Delta '}\end{array}} \right.\)
Vậy \(\Delta '\) song song với \(\Delta \)
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = ( - 3; 4; - 5)\), \(\overrightarrow a = (2; 1; - 2)\)
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} ,\overrightarrow a } \right] = ( - 3; - 16; - 11)\)
\(d(\Delta ,\Delta ') = M{'_0}H = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow a |}}\)\(= \dfrac{{\sqrt {9 + 256 + 121} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {386} }}{3}\)