Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng: \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 3 - 2t'}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
Lập phương trình đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\).
Lập phương trình đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\).
Phương pháp giải
- Tham số hóa tọa độ hai điểm \(M, M'\) lần lượt thuộc hai đường thẳng \(d, d'\).
- Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MM'} \) là đường vuông góc chung của \(d, d'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\).
- Tìm tọa độ của \(M, M'\) và viết phương trình đường thẳng \(MM'\).
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)
Vecto chỉ phương của hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) lần lượt là \(\overrightarrow a = ( - 1; 2; 3),\overrightarrow {a'} = (1; - 2; 0)\).
Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM'} = (t' + t; 1 - 2t' - 2t; 1 - 3t)\).
MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'} = 0}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0\\t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5t' + 14t = 5}\\{5t' + 5t = 2}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{3}}\\{t' = \dfrac{1}{{15}}}\end{array}} \right.\)
Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}; 1} \right), M'\left({\dfrac{{16}}{{15}};\dfrac{{43}}{{15}}; 1} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {MM'} = \left( {\dfrac{6}{{15}};\dfrac{3}{{15}}; 0} \right)\)
Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2; 1; 0)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{2}{3} + 2t}\\{y = \dfrac{8}{3} + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
- Tham số hóa tọa độ hai điểm \(M, M'\) lần lượt thuộc hai đường thẳng \(d, d'\).
- Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MM'} \) là đường vuông góc chung của \(d, d'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\).
- Tìm tọa độ của \(M, M'\) và viết phương trình đường thẳng \(MM'\).
Lời giải chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\)
Vecto chỉ phương của hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) lần lượt là \(\overrightarrow a = ( - 1; 2; 3),\overrightarrow {a'} = (1; - 2; 0)\).
Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM'} = (t' + t; 1 - 2t' - 2t; 1 - 3t)\).
MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'} = 0}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0\\t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5t' + 14t = 5}\\{5t' + 5t = 2}\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{3}}\\{t' = \dfrac{1}{{15}}}\end{array}} \right.\)
Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}; 1} \right), M'\left({\dfrac{{16}}{{15}};\dfrac{{43}}{{15}}; 1} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow {MM'} = \left( {\dfrac{6}{{15}};\dfrac{3}{{15}}; 0} \right)\)
Suy ra đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2; 1; 0)\)
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{2}{3} + 2t}\\{y = \dfrac{8}{3} + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)