Google
Câu hỏi: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\)
a) \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải
Sử dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Xem chi tiết tại đây.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; 2; 3)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (3; 2; 2)\)
Suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = ( - 2; 7; - 4)\)
Ta có \({M_0}( - 1; 1; - 2) \in d,{M_0}'(1; 5; 4) \in {\rm{d'}}\)\(\Rightarrow \overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = (2; 4; 6)\)
Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = - 4 + 28 - 24 = 0\).
Vậy đường thẳng \(d\) và \(d’\) đồng phẳng và khác phương, nên \(d\) và \(d’\) cắt nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; 1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2; 2; - 2).{M_0}(0; 1; 2) \in d\)
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2\overrightarrow {{u_d}} }\\{{M_0} \notin d'}\end{array}} \right.\) (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.
c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1; 3; - 2)\)
d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (0; 0; 5)\)
Gọi \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = (15; 5; 0) \ne \overrightarrow 0 \)
Ta có \({M_0}(0; 0; - 1) \in d\)
\(M{'_0}(0; 9; 0) \in d'\)\(\Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = (0; 9; 1),\) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = 45 \ne 0\)
Vậy \(d\) và \(d’\) là hai đường thẳng chéo nhau.
Sử dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Xem chi tiết tại đây.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; 2; 3)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (3; 2; 2)\)
Suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = ( - 2; 7; - 4)\)
Ta có \({M_0}( - 1; 1; - 2) \in d,{M_0}'(1; 5; 4) \in {\rm{d'}}\)\(\Rightarrow \overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = (2; 4; 6)\)
Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = - 4 + 28 - 24 = 0\).
Vậy đường thẳng \(d\) và \(d’\) đồng phẳng và khác phương, nên \(d\) và \(d’\) cắt nhau.
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = (1; 1; - 1)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2; 2; - 2).{M_0}(0; 1; 2) \in d\)
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2\overrightarrow {{u_d}} }\\{{M_0} \notin d'}\end{array}} \right.\) (tọa độ M0 không thỏa mãn d’) nên hai đường thẳng d và d’ song song.
c) d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1; 3; - 2)\)
d’ có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (0; 0; 5)\)
Gọi \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = (15; 5; 0) \ne \overrightarrow 0 \)
Ta có \({M_0}(0; 0; - 1) \in d\)
\(M{'_0}(0; 9; 0) \in d'\)\(\Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = (0; 9; 1),\) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = 45 \ne 0\)
Vậy \(d\) và \(d’\) là hai đường thẳng chéo nhau.
