Bài 3.41 trang 132 SBT hình học 12

Câu hỏi: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha)\): 2x – y + 2z + 12 = 0

Câu a​

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \((\alpha)\);
Phương pháp giải:
- Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc \(\left( \alpha \right)\).
- Tìm giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(1; -1; 2) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) : 2x – y + 2z + 12 = 0 là: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)
Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t) \(\in \Delta \)
Ta có \(H \in (\alpha)\)\(\Leftrightarrow 2(1 + 2t) + (1 + t)\)\(+ 2(2 + 2t) + 12 = 0\) \(\Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 19}}{9}\)
Vậy ta được \(H\left( {\dfrac{{ - 29}}{9};\dfrac{{10}}{9};\dfrac{{ - 20}}{9}} \right)\)

Câu b​

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha)\).
Phương pháp giải:
\(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\left( \alpha \right)\) \(\Leftrightarrow H\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết:
H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{ - 58}}{9} - 1 = \dfrac{{ - 67}}{9}\)
\({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{20}}{9} + 1 = \dfrac{{29}}{9}\)
\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{ - 40}}{9} - 2 = \dfrac{{ - 58}}{9}\)
Vậy ta được \(M'\left( {\dfrac{{ - 67}}{9};\dfrac{{29}}{9};\dfrac{{ - 58}}{9}} \right)\)