Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -10;6;-2 \right)$ và $B\left( -5;10;-9 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc $\left( \alpha \right)$ sao cho $MA,MB$ tạo với $\left( \alpha \right)$ các góc bằng nhau và biểu thức $T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng $a+b+c$ là
A. $-\dfrac{464+4\sqrt{58}}{29}$.
B. 6.
C. $-6$.
D. $\dfrac{464-4\sqrt{58}}{29}$.
A. $-\dfrac{464+4\sqrt{58}}{29}$.
B. 6.
C. $-6$.
D. $\dfrac{464-4\sqrt{58}}{29}$.
Đặt: $F\left( x;y;z \right)=2x-2y-z+12$ $\Rightarrow F\left( A \right).F\left( B \right)=\left( -18 \right).\left( -9 \right)=162>0\Rightarrow $ Điểm $A,B$ nằm cùng phía với $\left( \alpha \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
$\Rightarrow AH=d\left( A, \left( \alpha \right) \right)=2$ và $BK=d\left( B, \left( \alpha \right) \right)=1\Rightarrow \dfrac{AH}{BK}=2$.
Các góc $\widehat{AMH}$ và $\widehat{BMK}$ lần lượt là góc tạo bởi $MA,MB~$ với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{BMK}=\varphi $.
Khi đó, $\Delta AMH\sim \Delta BMK\Rightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{MH}{MK}=\dfrac{AH}{BK}=2\Rightarrow MH=2MK$ và $MA=2MB$.
Trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $HK$ sao cho $IH=2IK$, $d$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $HK$. Do $MH=2MK$ nên $M\in d$.
Xét: $T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=7.M{{B}^{2}}$. Dễ thấy $IM\bot \left( AHKB \right)\Rightarrow MB\ge IB, \forall M\in d$.
$\Rightarrow {{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{B}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv I$ $\Rightarrow \overrightarrow{MH}=-2\overrightarrow{MK}$.
Điểm K là giao điểm của đường $\left( BK \right):\left\{ \begin{matrix}
x=-5+2t \\
y=10-2t \\
z=-9-t\ \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0$.
$\Rightarrow 2\left( -5+2t \right)-2\left( 10-2t \right)-\left( -9-t \right)+12=0\Rightarrow t=1\Rightarrow K\left( -3;8;-10 \right)$.
Điểm H là giao điểm của đường $\left( AH \right):\left\{ \begin{matrix}
x=-10+2t \\
y=6-2t\quad \\
z=-2-t\ \ \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0$.
$\Rightarrow 2\left( -10+2t \right)-2\left( 6-2t \right)-\left( -2-t \right)+12=0\Rightarrow t=2\Rightarrow H\left( -6;2;-4 \right)$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$, $\overrightarrow{MH}=-2\overrightarrow{MK}\Leftrightarrow \left( -6-a;2-b;-4-c \right)=-2.\left( -3-a;8-b;-10-c \right)$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-4 \\
b=6\ \ \\
c=-8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b+c=-6$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
$\Rightarrow AH=d\left( A, \left( \alpha \right) \right)=2$ và $BK=d\left( B, \left( \alpha \right) \right)=1\Rightarrow \dfrac{AH}{BK}=2$.
Các góc $\widehat{AMH}$ và $\widehat{BMK}$ lần lượt là góc tạo bởi $MA,MB~$ với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow \widehat{AMH}=\widehat{BMK}=\varphi $.
Khi đó, $\Delta AMH\sim \Delta BMK\Rightarrow \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{MH}{MK}=\dfrac{AH}{BK}=2\Rightarrow MH=2MK$ và $MA=2MB$.
Trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $HK$ sao cho $IH=2IK$, $d$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $HK$. Do $MH=2MK$ nên $M\in d$.
$\Rightarrow {{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{B}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv I$ $\Rightarrow \overrightarrow{MH}=-2\overrightarrow{MK}$.
Điểm K là giao điểm của đường $\left( BK \right):\left\{ \begin{matrix}
x=-5+2t \\
y=10-2t \\
z=-9-t\ \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0$.
$\Rightarrow 2\left( -5+2t \right)-2\left( 10-2t \right)-\left( -9-t \right)+12=0\Rightarrow t=1\Rightarrow K\left( -3;8;-10 \right)$.
Điểm H là giao điểm của đường $\left( AH \right):\left\{ \begin{matrix}
x=-10+2t \\
y=6-2t\quad \\
z=-2-t\ \ \\
\end{matrix} \right. $ và $ \left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0$.
$\Rightarrow 2\left( -10+2t \right)-2\left( 6-2t \right)-\left( -2-t \right)+12=0\Rightarrow t=2\Rightarrow H\left( -6;2;-4 \right)$.
Gọi $M\left( a;b;c \right)$, $\overrightarrow{MH}=-2\overrightarrow{MK}\Leftrightarrow \left( -6-a;2-b;-4-c \right)=-2.\left( -3-a;8-b;-10-c \right)$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-4 \\
b=6\ \ \\
c=-8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b+c=-6$.
Đáp án C.
