Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+2}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+1=0$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $E\left( -2;1;-2 \right)$ song song với $\left( P \right)$ đồng thời tạo với $d$ góc bé nhất. Biết rằng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( m;n;1 \right)$. Tính $T={{m}^{2}}-{{n}^{2}}$.
A. $T=4$.
B. $T=3$.
C. $T=-4$.
D. $T=-5$.
Lấy $M\left( 2;-3;1 \right)\in d$. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $E$ và song song với $\left( P \right)\Rightarrow \left( Q \right):2x-y+2z+9=0$.
Theo đề bài ta có đường thẳng $d$ đi qua $E$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ điểm $K$ là nghiệm hệ phương trình.
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-3-t \\
& z=1+2t \\
& 2x-y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+2\left( 1+2t \right)+9=0 $ $ \Leftrightarrow t=-2\Rightarrow K\left( -2;-1;-3 \right)$.
Gọi $\alpha =\left( d;\Delta \right)\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{MH}{ME}\ge \dfrac{MK}{ME}\Rightarrow $ $\alpha $ bé nhất $H\equiv K$.
$\Rightarrow $ $\overrightarrow{u}=\left( 0;2;1 \right)\Rightarrow T=4$.
A. $T=4$.
B. $T=3$.
C. $T=-4$.
D. $T=-5$.
Theo đề bài ta có đường thẳng $d$ đi qua $E$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ và $\left( Q \right)$. Tọa độ điểm $K$ là nghiệm hệ phương trình.
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=-3-t \\
& z=1+2t \\
& 2x-y+2z+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+2\left( 1+2t \right)+9=0 $ $ \Leftrightarrow t=-2\Rightarrow K\left( -2;-1;-3 \right)$.
Gọi $\alpha =\left( d;\Delta \right)\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{MH}{ME}\ge \dfrac{MK}{ME}\Rightarrow $ $\alpha $ bé nhất $H\equiv K$.
$\Rightarrow $ $\overrightarrow{u}=\left( 0;2;1 \right)\Rightarrow T=4$.
Đáp án A.
