Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha)\): 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha)\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha)\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha)\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha)\)
Phương pháp giải
- Sử dụng điều kiện đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0\\M \in \Delta, M \notin \left(\alpha \right)\end{array} \right.\).
- Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = d\left({M,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; 3; 2)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2; 1)\)
\(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \), ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha)\). Vậy \({M_0} \notin (\alpha)\) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha)\) \(\)
b) \(d(\Delta ,(\alpha)) = d({M_0},(\alpha))\)\(= \dfrac{{|2.( - 3) - 2.(- 1) + (- 1) + 3|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{2}{3}\)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\dfrac{2}{3}\).
- Sử dụng điều kiện đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = 0\\M \in \Delta, M \notin \left(\alpha \right)\end{array} \right.\).
- Sử dụng công thức tính khoảng cách \(d\left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = d\left({M,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; 3; 2)\) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (2; - 2; 1)\)
\(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 4 - 6 + 2 = 0\) (1)
Xét điểm M0(-3; -1; -1) thuộc \(\Delta \), ta thấy tọa độ M0 không thỏa mãn phương trình của \((\alpha)\). Vậy \({M_0} \notin (\alpha)\) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra \(\Delta //(\alpha)\) \(\)
b) \(d(\Delta ,(\alpha)) = d({M_0},(\alpha))\)\(= \dfrac{{|2.( - 3) - 2.(- 1) + (- 1) + 3|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \dfrac{2}{3}\)
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((\alpha)\) là \(\dfrac{2}{3}\).