Google
Câu hỏi: Trong không gian có hệ trục $Oxyz$, đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2-t \\
& y=3+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( \Delta \right):x+2y-2z+3=0 $. Góc giữa $ \left( d \right) $ và $ \left( \Delta \right) $ bằng $ \alpha $. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cot \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
& x=2-t \\
& y=3+t \\
& z=1+t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( \Delta \right):x+2y-2z+3=0 $. Góc giữa $ \left( d \right) $ và $ \left( \Delta \right) $ bằng $ \alpha $. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\cot \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
B. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
Đường thẳng $\left( d \right)$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( -1;1;1 \right)$, mặt phẳng $\left( \Delta \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;-2 \right)$, khi đó:
$\sin \left( \left( d \right),\left( \Delta \right) \right)=\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})|=\dfrac{\left| \left( -1 \right).1+1.2+1.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
$\sin \left( \left( d \right),\left( \Delta \right) \right)=\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=|\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})|=\dfrac{\left| \left( -1 \right).1+1.2+1.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
Đáp án C.