Google
Câu hỏi: Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).
Phương pháp giải
a) Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \(\Delta \)
Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)
b) \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\Delta \) nếu \(H\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)
Xét điểm \(H(1 + 2t; - 1 - t; 2t) \in \Delta \)
Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - t; 2t - 1)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1; 2)\)
H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
Ta suy ra tọa độ điểm \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
Cách khác:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1; 2} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha \right)\)
Mà \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1; 1} \right)\) nên:
\(\left( \alpha \right):2\left({x - 2} \right) - \left({y + 1} \right) + 2\left({z - 1} \right) = 0\) hay \(2x - y + 2z - 7 = 0\)
\(H = \Delta \cap \left( \alpha \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\) \(\Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left({ - 1 - t} \right) + 2.2t - 7 = 0\)
\(\Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
\(\Rightarrow H\left( {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)
Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)
Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)
Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\).
a) Tham số hóa tọa độ hình chiếu của M trên \(\Delta \)
Lập phương trình tìm tham số, sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)
b) \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \(\Delta \) nếu \(H\) là trung điểm của \(MM'\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)
Xét điểm \(H(1 + 2t; - 1 - t; 2t) \in \Delta \)
Ta có \(\overrightarrow {MH} = (2t - 1; - t; 2t - 1)\), \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = (2; - 1; 2)\)
H là hình chiếu vuông góc của M trên \(\Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)
\(\Leftrightarrow 2(2t - 1) + t + 2(2t - 1) = 0\)\(\Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
Ta suy ra tọa độ điểm \(H\left( {\dfrac{{17}}{9};\dfrac{{ - 13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
Cách khác:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1; 2} \right)\) là VTPT của \(\left( \alpha \right)\)
Mà \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1; 1} \right)\) nên:
\(\left( \alpha \right):2\left({x - 2} \right) - \left({y + 1} \right) + 2\left({z - 1} \right) = 0\) hay \(2x - y + 2z - 7 = 0\)
\(H = \Delta \cap \left( \alpha \right)\) nên tọa độ điểm \(H\) thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2t\\2x - y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\) \(\Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left({ - 1 - t} \right) + 2.2t - 7 = 0\)
\(\Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{9}\)
\(\Rightarrow H\left( {\dfrac{{17}}{9}; - \dfrac{{13}}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)
b) H là trung điểm của MM’, suy ra \({x_{M'}} + {x_M} = 2{x_H}\)
Suy ra \({x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \dfrac{{34}}{9} - 2 = \dfrac{{16}}{9}\)
Tương tự, ta được \({y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \dfrac{{ - 26}}{9} + 1 = \dfrac{{ - 17}}{9};\)\({z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = \dfrac{{16}}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)
Vậy \(M'\left( {\dfrac{{16}}{9};\dfrac{{ - 17}}{9};\dfrac{7}{9}} \right)\).