Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, đường chéo AC’ tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc \(\alpha \left( {0 < \alpha < {{45}^0}} \right)\). Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng
A. ${a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha + 1}$
B. ${a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha - 1}$
C. ${a^3}\sqrt {\cos 2\alpha }$
D. ${a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1}$
Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {AC'B} = \alpha \)
Tam giác \(ABC'\) vuông tại B nên \(BC' = AB\cot \alpha = a\cot \alpha \)
Tam giác BCC’ vuông tại B nên \(CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} \) \(= \sqrt {{{\left( {a\cot \alpha } \right)}^2} - {a^2}} \)\(= a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \)
Thể tích: \({V_{ABCD. A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}. CC'\) \(= {a^2}. A\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \) \(= {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \).
A. ${a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha + 1}$
B. ${a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha - 1}$
C. ${a^3}\sqrt {\cos 2\alpha }$
D. ${a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1}$
Ta có: \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {AC'B} = \alpha \)
Tam giác \(ABC'\) vuông tại B nên \(BC' = AB\cot \alpha = a\cot \alpha \)
Tam giác BCC’ vuông tại B nên \(CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} \) \(= \sqrt {{{\left( {a\cot \alpha } \right)}^2} - {a^2}} \)\(= a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \)
Thể tích: \({V_{ABCD. A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}. CC'\) \(= {a^2}. A\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \) \(= {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \).
Đáp án B.