Google
Câu hỏi: Khối lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}$
B. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}$
C. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}$
D. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$
Gọi H là trung điểm của BC.
Khi đó \(AH \bot \left( {ABC} \right), AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Do \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa AA’ và (ABC) bằng góc \(\widehat {A'AH} = {30^0}\).
Tam giác A’AH vuông tại H nên \(A'H = AH\tan \widehat {A'AH}\) \(= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{a}{2}\).
Thể tích \({V_{ABC. A'B'C'}} = {S_{ABC}}. A'H\) \(= \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
A. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}$
B. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}$
C. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}$
D. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$
Gọi H là trung điểm của BC.
Khi đó \(AH \bot \left( {ABC} \right), AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\),\({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Do \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa AA’ và (ABC) bằng góc \(\widehat {A'AH} = {30^0}\).
Tam giác A’AH vuông tại H nên \(A'H = AH\tan \widehat {A'AH}\) \(= \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{a}{2}\).
Thể tích \({V_{ABC. A'B'C'}} = {S_{ABC}}. A'H\) \(= \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
Đáp án B.