Google
Câu hỏi: Các cạnh bên của hình chóp O. ABC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng với O và ba cạnh cùng xuất phát từ O nằm trên OA, OB, OC, còn đỉnh đối diện với O thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương A’HB’O. GEFC’ thỏa mãn điều kiện của bài toán và điểm E thuộc \(mp\left( {ABC} \right).\)
Khi đó
\({V_{O. ABC}} = {V_{E. OAB}} + {V_{E. OBC}} + {V_{E. OCA}}.\)
Các khối chóp E. OAB, E. OBC, E. OCA có chiều cao x bằng cạnh của khối lập phương nói trên. Bởi vậy ta có :
\(\eqalign{ & {1 \over 6}abc = {1 \over 3}x\left( {{{ab} \over 2} + {{bc} \over 2} + {{ca} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow x = {{abc} \over {ab + bc + ca}}. \cr} \)
Vậy : Vlập phương \(={x^3} = {{{a^3}{b^3}{c^3}} \over {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^3}}}.\)
Giả sử hình lập phương A’HB’O. GEFC’ thỏa mãn điều kiện của bài toán và điểm E thuộc \(mp\left( {ABC} \right).\)
Khi đó
\({V_{O. ABC}} = {V_{E. OAB}} + {V_{E. OBC}} + {V_{E. OCA}}.\)
Các khối chóp E. OAB, E. OBC, E. OCA có chiều cao x bằng cạnh của khối lập phương nói trên. Bởi vậy ta có :
\(\eqalign{ & {1 \over 6}abc = {1 \over 3}x\left( {{{ab} \over 2} + {{bc} \over 2} + {{ca} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow x = {{abc} \over {ab + bc + ca}}. \cr} \)
Vậy : Vlập phương \(={x^3} = {{{a^3}{b^3}{c^3}} \over {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^3}}}.\)