Google
Câu hỏi: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và chiều cao h. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng
A. ${{\sqrt 3 } \over 4}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
B. ${{\sqrt 3 } \over {12}}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
C. ${{\sqrt 3 } \over 4}\left({{b^2} - {h^2}} \right)b$
D. ${{\sqrt 3 } \over 8}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
Xét hình chóp tam giác đều \(S. ABC\) có chiều cao \(SG = h\), cạnh bên \(SA = b\).
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
\(AG = \sqrt {S{A^2} - S{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \)
Tam giác ABC đều có \(R = AG = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \) nên:
\(AB = 2R\sin C = 2\sqrt {{b^2} - {h^2}} \sin {60^0}\) \(= \sqrt 3 .\sqrt {{b^2} - {h^2}} \)
\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(= \frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S. ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}. SG\\ = \frac{1}{3}.\frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}. H\\ = \frac{{\sqrt 3 \left({{b^2} - {h^2}} \right)}}{4}. H\end{array}\)
A. ${{\sqrt 3 } \over 4}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
B. ${{\sqrt 3 } \over {12}}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
C. ${{\sqrt 3 } \over 4}\left({{b^2} - {h^2}} \right)b$
D. ${{\sqrt 3 } \over 8}\left({{b^2} - {h^2}} \right)h$
Xét hình chóp tam giác đều \(S. ABC\) có chiều cao \(SG = h\), cạnh bên \(SA = b\).
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
\(AG = \sqrt {S{A^2} - S{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \)
Tam giác ABC đều có \(R = AG = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \) nên:
\(AB = 2R\sin C = 2\sqrt {{b^2} - {h^2}} \sin {60^0}\) \(= \sqrt 3 .\sqrt {{b^2} - {h^2}} \)
\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(= \frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S. ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}. SG\\ = \frac{1}{3}.\frac{{3\left( {{b^2} - {h^2}} \right)\sqrt 3 }}{4}. H\\ = \frac{{\sqrt 3 \left({{b^2} - {h^2}} \right)}}{4}. H\end{array}\)
Đáp án A.