Google
Câu hỏi: Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằng d, góc giữa đường chéo và mặt đáy là \(\alpha \), góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng \(\beta \). Thể tích của hình hộp đó bằng
A. ${1 \over 2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta$
B. ${1 \over 3}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta$
C. ${d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta$
D. ${1 \over 2}{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta$
Gọi O là tâm đáy \(ABCD\), giả sử \(\widehat {AOB}\) nhọn thì \(\widehat {AOB} = \beta \).
Ta có: \(A'C = d,\widehat {A'CA} = \alpha \)
Tam giác A’AC vuông tại A nên \(A'A = A'C\sin \alpha = d\sin \alpha \)
\(AC = A'C\cos \alpha = d\cos \alpha \)
\(\Rightarrow AO = BO = CO = DO\) \(= \frac{1}{2}AC = \frac{{d\cos \alpha }}{2}\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{AOB}}\\ = 4.\frac{1}{2}AO. BO.\sin \widehat {AOB}\\ = 2A{O^2}\sin \widehat {AOB}\\ = 2.{\left( {\frac{{d\cos \alpha }}{2}} \right)^2}\sin \beta \\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD. A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}. AA'\\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}. D\sin \alpha \\ = \frac{1}{2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta \end{array}\)
A. ${1 \over 2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta$
B. ${1 \over 3}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta$
C. ${d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta$
D. ${1 \over 2}{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta$
Gọi O là tâm đáy \(ABCD\), giả sử \(\widehat {AOB}\) nhọn thì \(\widehat {AOB} = \beta \).
Ta có: \(A'C = d,\widehat {A'CA} = \alpha \)
Tam giác A’AC vuông tại A nên \(A'A = A'C\sin \alpha = d\sin \alpha \)
\(AC = A'C\cos \alpha = d\cos \alpha \)
\(\Rightarrow AO = BO = CO = DO\) \(= \frac{1}{2}AC = \frac{{d\cos \alpha }}{2}\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{AOB}}\\ = 4.\frac{1}{2}AO. BO.\sin \widehat {AOB}\\ = 2A{O^2}\sin \widehat {AOB}\\ = 2.{\left( {\frac{{d\cos \alpha }}{2}} \right)^2}\sin \beta \\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD. A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}. AA'\\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}. D\sin \alpha \\ = \frac{1}{2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta \end{array}\)
Đáp án A.