Google
Câu hỏi: Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} - {n^2}\)
Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} - {n^2}\)
Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Phương pháp giải
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\).
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right|\)
Do \(n \in \mathbb N \Rightarrow n + 1 > 0\)
Nên \(\left| {n + 1} \right| + \left| n \right| = n + 1 + n = 2n + 1\) (1)
Ta có:
\(\eqalign{
& {(n + 1)^2} - {n^2} \cr
& = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr } \)
\(= 2n + 1 \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Với \(n = 1\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \)
Với \(n = 2\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \)
Với \(n = 3\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \)
Với \(n = 4\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \)
Với \(n = 5\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \)
Với \(n = 6\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \)
Với \(n = 7\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = {\left( {7 + 1} \right)^2} - {7^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\).
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right|\)
Do \(n \in \mathbb N \Rightarrow n + 1 > 0\)
Nên \(\left| {n + 1} \right| + \left| n \right| = n + 1 + n = 2n + 1\) (1)
Ta có:
\(\eqalign{
& {(n + 1)^2} - {n^2} \cr
& = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr } \)
\(= 2n + 1 \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Với \(n = 1\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \)
Với \(n = 2\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \)
Với \(n = 3\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \)
Với \(n = 4\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \)
Với \(n = 5\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \)
Với \(n = 6\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \)
Với \(n = 7\), ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = {\left( {7 + 1} \right)^2} - {7^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)