Google
Câu hỏi: Với \(n\) là số tự nhiên, chứng minh:
\({(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} \)\(= \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)
Viết đẳng thức trên khi \(n\) bằng \(1, 2, 3, 4.\)
\({(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )^2} \)\(= \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)
Viết đẳng thức trên khi \(n\) bằng \(1, 2, 3, 4.\)
Phương pháp giải
+) Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
+) Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)
+) \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Với \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Lời giải chi tiết
Ta có vế phải
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr
& = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Ta có vế trái:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr
& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr
& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
- Với \(n = 1\), ta có: \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \)
- Với \(n = 2\), ta có: \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} \)
- Với \(n = 3\), ta có: \({\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} \)
- Với \(n = 4\), ta có: \({\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} \)
+) Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
+) Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \)
+) \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Với \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Lời giải chi tiết
Ta có vế phải
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr
& = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Ta có vế trái:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr
& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr
& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
- Với \(n = 1\), ta có: \({\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9 - \sqrt 8 \)
- Với \(n = 2\), ta có: \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25} - \sqrt {24} \)
- Với \(n = 3\), ta có: \({\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49} - \sqrt {48} \)
- Với \(n = 4\), ta có: \({\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81} - \sqrt {80} \)