Google
Câu hỏi: Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\)
a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);
b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\)
Phương pháp giải
a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bậc cao nhất.
b,Nhân với biểu thức liên hợp
\(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\)
Lời giải chi tiết
a) \(\frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) }}{{\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) }} = \frac{1}{2}\)
b)\({v_n} = \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = \frac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n }} = \frac{{2n}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }} = 1\)
a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bậc cao nhất.
b,Nhân với biểu thức liên hợp
\(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\)
Lời giải chi tiết
a) \(\frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) }}{{\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) }} = \frac{1}{2}\)
b)\({v_n} = \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} - n} \right) = \frac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n }} = \frac{{2n}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }} = 1\)