Bài 29 trang 9 SBT toán 9 tập 1

Phương pháp giải
Áp dụng tính chất: Với \(a > 0,b > 0\) và \({a^2} < {b^2}\) thì \(a < b\)
Để chứng minh \(a < b\) ( với \(a > 0,b > 0\)) ta chứng minh \({a^2} < {b^2}\).
Chú ý: \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\) ( với \(A > 0\)).
Áp dụng hằng đẳng thức:
\(\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right) = {a^2} - 1\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} = 4.2004 \cr
& = 4008 + 2.2004 \cr} \)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2} \cr
& = 2003 + 2\sqrt {2003.2005} + 2005 \cr} \)
\( = 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)
So sánh \(2004\) và \(\sqrt {2003.2005} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2003.2005} \cr
& = \sqrt {(2004 - 1)(2004 + 1)} \cr
& = \sqrt {{{2004}^2} - 1} < \sqrt {{{2004}^2}} \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 2004 > \sqrt {2003.2005} \cr
& \Rightarrow 2.2004 > 2.\sqrt {2003.2005} \cr} \)
\( \Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2\sqrt {2003.2005} \)
\( \Rightarrow {\left( {2\sqrt {2004} } \right)^2} > {\left( {\sqrt {2003} + \sqrt {2005} } \right)^2}\)
Vậy \(2\sqrt {2004} > \sqrt {2003} + \sqrt {2005} \).