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Câu hỏi: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi).
\(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \) với \(\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\)
\(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \) với \(\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\)
Phương pháp giải
Áp dụng: \(\dfrac{1}{{\sqrt A + \sqrt B }} \)\(= \dfrac{{\sqrt A - \sqrt B }}{{A - B}} \left( {A,B \ge 0; A \ne B} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }}\) \( \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} )}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}}\)\( = \sqrt {2005} - \sqrt {2004} (1)\)
Ta có:
\( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\) \( \displaystyle= {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004} - \sqrt {2003} )}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}}\)\( = \sqrt {2004} - \sqrt {2003} (2)\)
Vì \( \displaystyle\sqrt {2005} + \sqrt {2004} >\)\( \displaystyle\sqrt {2004} + \sqrt {2003} \) nên:
\( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} < {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\( \displaystyle\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \) < \( \displaystyle\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\)
Áp dụng: \(\dfrac{1}{{\sqrt A + \sqrt B }} \)\(= \dfrac{{\sqrt A - \sqrt B }}{{A - B}} \left( {A,B \ge 0; A \ne B} \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }}\) \( \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} )}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}}\)\( = \sqrt {2005} - \sqrt {2004} (1)\)
Ta có:
\( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\) \( \displaystyle= {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004} - \sqrt {2003} )}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}}\)\( = \sqrt {2004} - \sqrt {2003} (2)\)
Vì \( \displaystyle\sqrt {2005} + \sqrt {2004} >\)\( \displaystyle\sqrt {2004} + \sqrt {2003} \) nên:
\( \displaystyle{1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} < {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\( \displaystyle\sqrt {2005} - \sqrt {2004} \) < \( \displaystyle\sqrt {2004} - \sqrt {2003}\)