Google
Câu hỏi: Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm \({y_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là số dương.
Bước 3: Kết luận:
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} > 1\) thì \({y_{n + 1}} > {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} < 1\) thì \({y_{n + 1}} < {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt n - \sqrt {n + 2} < 0\\\sqrt {n + 2} > 0,\sqrt {n + 1} > 0,\sqrt n > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)
Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cách 2:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)
Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Bước 1: Tìm \({y_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là số dương.
Bước 3: Kết luận:
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} > 1\) thì \({y_{n + 1}} > {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} < 1\) thì \({y_{n + 1}} < {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt n - \sqrt {n + 2} < 0\\\sqrt {n + 2} > 0,\sqrt {n + 1} > 0,\sqrt n > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)
Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cách 2:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)
Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.