Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-z-3=0$. Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách ${d}'$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$ là đường thẳng có phương trình
A. $\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$.
B. $\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
C. $\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$ và $\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
D. $\dfrac{x+9}{7}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
A. $\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$.
B. $\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
C. $\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$ và $\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
D. $\dfrac{x+9}{7}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
Ta thấy: $A\left( 1 ; 0 ; -2 \right)=d\cap \left( P \right)\Rightarrow A\in {d}'$.
$\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1 ; 2 ; -1 \right)$, đường thẳng $d$ có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2 ; 1 ;-1 \right)$.
Gọi ${d}''$ là tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách ${d}'$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$
$\left( Q \right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\left( P \right)$ và cách ${d}'$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$ $\Rightarrow \left( Q \right)\supset {d}''$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( Q \right)\bot \left( P \right) \\
& \left( Q \right) \text{//} \left( d,{d}' \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 1 ; 1 ; 3 \right) $là 1 VTPT của $ \left( Q \right)$.
$\Rightarrow $ phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $x+y+3z+a=0$.
Ta lại có: $d\left( \left( Q \right),{d}' \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)$
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+0+3.\left( -2 \right)+a \right|}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\Leftrightarrow \left| a-5 \right|=11\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a-5=11 \\
& a-5=-11 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=16 \\
& a=-6 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà ${d}''=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
Với $a=16$, ta có phương trình ${d}''$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-z-3=0 \\
& x+y+3z+16=0 \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$.
Chọn $M\left( -35 ; 19 ; 0 \right)$ và $N\left( 0 ; -1 ; -5 \right)$ thỏa mãn $\left( I \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 35 ; -20 ; -5 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}''}}}}=\left( 7 ; -4 ; -1 \right)$ là 1 VTCP của ${d}''$ $\Rightarrow {d}'':\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$.
Với $a=-6$, ta có phương trình ${d}''$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-z-3=0 \\
& x+y+3z-6=0 \\
\end{aligned} \right.\left( II \right)$.
Chọn $K\left( 9 ; -3 ; 0 \right)$ thỏa mãn $\left( II \right)$ $\Rightarrow {d}'':\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
$\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1 ; 2 ; -1 \right)$, đường thẳng $d$ có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2 ; 1 ;-1 \right)$.
Gọi ${d}''$ là tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách ${d}'$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$
$\left( Q \right)$ là mặt phẳng vuông góc với $\left( P \right)$ và cách ${d}'$ một khoảng bằng $\sqrt{11}$ $\Rightarrow \left( Q \right)\supset {d}''$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( Q \right)\bot \left( P \right) \\
& \left( Q \right) \text{//} \left( d,{d}' \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 1 ; 1 ; 3 \right) $là 1 VTPT của $ \left( Q \right)$.
$\Rightarrow $ phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $x+y+3z+a=0$.
Ta lại có: $d\left( \left( Q \right),{d}' \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)$
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+0+3.\left( -2 \right)+a \right|}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\Leftrightarrow \left| a-5 \right|=11\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a-5=11 \\
& a-5=-11 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=16 \\
& a=-6 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà ${d}''=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$
Với $a=16$, ta có phương trình ${d}''$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-z-3=0 \\
& x+y+3z+16=0 \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$.
Chọn $M\left( -35 ; 19 ; 0 \right)$ và $N\left( 0 ; -1 ; -5 \right)$ thỏa mãn $\left( I \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 35 ; -20 ; -5 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}''}}}}=\left( 7 ; -4 ; -1 \right)$ là 1 VTCP của ${d}''$ $\Rightarrow {d}'':\dfrac{x}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z+5}{-1}$.
Với $a=-6$, ta có phương trình ${d}''$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x+2y-z-3=0 \\
& x+y+3z-6=0 \\
\end{aligned} \right.\left( II \right)$.
Chọn $K\left( 9 ; -3 ; 0 \right)$ thỏa mãn $\left( II \right)$ $\Rightarrow {d}'':\dfrac{x-9}{7}=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z}{-1}$.
Đáp án C.