Bài 20 trang 8 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

Câu a​

\(6 + 2\sqrt 2 \) và \(9\);
Phương pháp giải:
\(A < B \Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\) với \((A > 0;B > 0).\)
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(9 = 6 + 3\)
So sánh: \(2\sqrt 2 \) và \(3\) vì \(2\sqrt 2 > 0 \) và \(3 > 0\)
Ta có:
\({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4 . 2 = 8\)
\({3^2} = 9\)
Vì \(8 < 9\) nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\)
\(\Rightarrow 6+2\sqrt 2 < 6+3\) \(\Rightarrow 6+2\sqrt 2 < 9\)
Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\)

Câu b​

\(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và \(3\);
Phương pháp giải:
\({(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
\(A < B \Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\) với \((A > 0;B > 0).\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)
Mà \({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2 . 2\)
So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và \(2\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 2 . 3 = 6 \cr} \)
Mà \({2^2} = 4\)
Vì \(6 > 4\) nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Leftrightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Leftrightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3.\)

Câu c​

\(9 + 4\sqrt 5 \) và \(16\);
Phương pháp giải:
\(A < B \Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\) với \((A > 0;B > 0).\)
Lời giải chi tiết:
So sánh \(4\sqrt 5 \) và \(7\)
Ta có: \({\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} = {4^2}.{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \)\(= 16.5 = 80\)
Và \(7^2=49\)
\(80 > 49 \Rightarrow \sqrt {80} > \sqrt 49 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 7 \)
Từ đó
\(\eqalign{
& 4\sqrt 5 > 7 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 9 + 7 \cr} \)
Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\).

Câu d​

\(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và \(2\).
Phương pháp giải:
\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
\(A < B \Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\) với \((A > 0;B > 0).\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \).
\(2^2=4=14-10\)
Ta so sánh \(10\) và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa \(5\) và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \).
Ta có: \({5^2} = 25\)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 . 3 = 33 \cr} \)
Vì \(25 < 33\) nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)
Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Suy ra :
\(\eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2.\)