Bài 15 trang 7 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Chứng minh:

Câu a​

\(9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2};\)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Sử dụng hằng đẳng thức: \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& VT =9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr
& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu b​

\(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = - 2;\)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Xét các trường hợp \(A \ge 0\) và \(A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(VT =\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 \) \(= \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} - \sqrt 5 \)
\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \)
\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 \)
\(=\left| {\sqrt 5 - 2} \right| - \sqrt 5 \)\(= \sqrt 5 - 2 - \sqrt 5 = - 2\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu c​

\({\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = 23 - 8\sqrt 7; \)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Xét các trường hợp \(A \ge 0\) và \(A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(VT = {\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2}\)\(= {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \)
\( = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu d​

\(\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 = 4.\)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Nếu \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)
Nếu \(A < 0\) thì \(\left| A \right| = - A\)
Xét các trường hợp \(A \ge 0\) và \(A < 0\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( VT =\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \)
\( = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \)
\(=\sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \)
\( = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \)
\(=\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 \)\(= 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Chú ý: VT là vế trái.