Bài 2.62 trang 105 SBT hình học 10

Câu hỏi: Cho tam giác ABC có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }, AB = 4\)và \(AC = 6\).

Câu a​

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Xen điểm tích hợp để tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB. AC.\cos A = 4.6.\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 12\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\(= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2} = 12 - 16 =  - 4\)
\(B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\) \(= A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + A{B^2}\) \(= 36 - 2.12 + 16 = 28\)
\(\Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \)
\(R = \dfrac{{BC}}{{2\sin A}} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}.\)

Câu b​

Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 (x \ne  - 1)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM.
Phương pháp giải:
Biểu diễn \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BM} \) theo các véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Sử dụng lý thuyết \(AN \bot BM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = 0\) tìm \(x\).
Giải chi tiết:
\(2\overrightarrow {AM}  + 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) \(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM}  + 3(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AM}) = \overrightarrow 0 \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {AC} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = 3\overrightarrow {AC} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {BM}  = 3\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)
và \(\overrightarrow {NB}  + x\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \) \(\Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN}  + x\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{{x + 1}}(\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC}).\)
AN vuông góc với BM  \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM}  = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  + x\overrightarrow {AC} } \right)(3\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}) = 0\)\(\Leftrightarrow (3 - x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {3 - x} \right). 12 - 16 + 3x. 36 = 0\) \(\Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{{24}}\).