Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC có \(AB = c, AC = b\)(với \(b \ne c\)), phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\).
Phương pháp giải
Sử dụng định lý cô sin cho các tam giác \(ABD\) và \(ACD\).
Lời giải chi tiết
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB. AD}}\)\(= \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC. AD}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c. K}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b. K}}\) \(\Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left({{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*)\)
Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)
\(\Rightarrow DB. AC = DC. AB\) \(\Rightarrow bd = ce\)
Từ (*) ta suy ra
\(\begin{array}{l}
\left(* \right) \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left({c - b} \right) + \left({b - c} \right){k^2} + bd. E - ce. D = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left({b - c} \right) + \left({b - c} \right){k^2} + de\left({b - c} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left({b - c} \right)\left({ - bc + {k^2} + de} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\)
(vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)
Sử dụng định lý cô sin cho các tam giác \(ABD\) và \(ACD\).
Lời giải chi tiết
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB. AD}}\)\(= \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC. AD}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c. K}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b. K}}\) \(\Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left({{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*)\)
Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)
\(\Rightarrow DB. AC = DC. AB\) \(\Rightarrow bd = ce\)
Từ (*) ta suy ra
\(\begin{array}{l}
\left(* \right) \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left({c - b} \right) + \left({b - c} \right){k^2} + bd. E - ce. D = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left({b - c} \right) + \left({b - c} \right){k^2} + de\left({b - c} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left({b - c} \right)\left({ - bc + {k^2} + de} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\)
(vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)