Bài 2.56 trang 104 SBT hình học 10

Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A( - 5; 6), B(- 4; - 1); C(4; 3)\).

Câu a​

Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
Phương pháp giải:
\(H\) là trực tâm của tam giác nếu \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Gọi H(x; y). Ta có:
\(\overrightarrow {AH}  = (x + 5; y - 6),\) \(\overrightarrow {CH}  = (x - 4; y - 3)\) và \(\overrightarrow {BC}  = (8; 4),\overrightarrow {AB}  = (1; - 7)\)
H là trực tâm giác ABC \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8(x + 5) + 4(y - 6) = 0\\(x - 4) - 7(y - 3) = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y + 16 = 0\\
x - 7y + 17 = 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(H( - 3; 2)\)

Câu b​

Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất.
Phương pháp giải:
Xen điểm \(G\) vào biểu thức và tìm GTNN.
Lời giải chi tiết:
Vì M thuộc trục Oy nên M(O; y).
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{ - 5 - 4 + 4}}{3} = - \frac{5}{3}\\
{y_G} = \frac{{6 - 1 + 3}}{3} = \frac{8}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left({ - \frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\)
Do đó,
\(d = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) \(= \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)
d đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MG\) nhỏ nhất. Khi đó M là hình chiếu của G lên Oy.
Vậy \(M\left( {0;\dfrac{8}{3}} \right)\).