Bài 2.57 trang 105 SBT hình học 10

Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A(2; 4); B(3; 1); C(- 1; 1)\)

Câu a​

Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
H là trực tâm tam giác ABC \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Leftrightarrow IA = IB = IC\)
Lời giải chi tiết:
\(A(2; 4), B(3; 1), C(- 1; 1)\)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(G\left( {\dfrac{4}{3}; 2} \right)\)
*Gọi H(x; y), ta có:
\(\overrightarrow {AB}  = (1; - 3);\overrightarrow {BC}  = (- 4; 0)\);\(\overrightarrow {CH}  = (x + 1; y - 1);\)\(\overrightarrow {AH}  = (x - 2; y - 4)\)
H là trực tâm tam giác ABC \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4(x - 2) +0(y-4)= 0\\(x + 1) - 3(y - 1) = 0\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x - 3y + 4 = 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)
*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \(\Leftrightarrow IA = IB = IC\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = BI\\
BI = CI
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\left({x - 2} \right)}^2} + {{\left({y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left({x - 3} \right)}^2} + {{\left({y - 1} \right)}^2}} \\
\sqrt {{{\left({x - 3} \right)}^2} + {{\left({y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left({x + 1} \right)}^2} + {{\left({y - 1} \right)}^2}}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2}\\{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x - 2} \right)^2} + {\left({y - 4} \right)^2} = {\left({x - 3} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\\
{\left({x - 3} \right)^2} = {\left({x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x - 2} \right)^2} + {\left({y - 4} \right)^2} = {\left({x - 3} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\\
{x^2} - 6x + 9 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({x - 2} \right)^2} + {\left({y - 4} \right)^2} = {\left({x - 3} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\\
- 8x = - 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({1 - 2} \right)^2} + {\left({y - 4} \right)^2} = {\left({1 - 3} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2}\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + {y^2} - 8y + 16 = 4 + {y^2} - 2y + 1\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6y = - 12\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy: I(1; 2)

Câu b​

Chứng minh H, G, I thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Chứng minh \(\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = (1; 0),\overrightarrow {IG}  = \left({\dfrac{1}{3}; 0} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) \(\Rightarrow \overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.