Bài 2.58 trang 105 SBT hình học 10

Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.

Câu a​

Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý cô sin cho tam giác \(OBE\) để tính \(OE\).
Sử dụng định lý sin trong tam giác để tính bán kính.
Giải chi tiết:
Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:
\(O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB. BE.\cos \widehat {OBE}\)
\(O{E^2} = {\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {a^2} - 2\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}. A.\cos {45^0} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\)\(\Rightarrow OE = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:
\({R_{(\Delta OBE)}} = \dfrac{{OE}}{{2\sin \widehat {OBE}}}\)\(= \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}}}{{2\sin {{45}^0}}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}}}{{2\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Câu b​

Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \).
Phương pháp giải:
Xen điểm \(O\) vào biểu thức cần tính tích vô hướng và tính toán, chú ý các mối quan hệ vuông góc.
Giải chi tiết:
\(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC}  = \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left({\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\(= \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left({\overrightarrow {GO}  - \overrightarrow {OA} } \right) = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\) \(= {\left( {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - {\left({\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} =  - 4{a^2}\).