Bài 2.17 trang 109 SBT giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a​

Cho \(\displaystyle a = {\log _3}15, b = {\log _3}10\). Hãy tính \(\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50\)  theo \(\displaystyle a\) và \(\displaystyle b\).
Phương pháp giải:
Thu gọn các số \(\displaystyle a, b\), từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện \(\displaystyle a, b\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\displaystyle a = {\log _3}15 = {\log _3}(3.5)\)\(\displaystyle = {\log _3}3 + {\log _3}5 = 1 + {\log _3}5\) \(\displaystyle \Rightarrow {\log _3}5 = a - 1\)
Do đó:
\(\displaystyle{\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50\)\(\displaystyle = 2{\log _3}50 \) \( = 2{\log _3}\left( {5.10} \right)\) \(= 2\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)\)\(\displaystyle = 2{\log _3}5 + 2{\log _3}10\)\(\displaystyle = 2\left( {a - 1} \right) + 2b = 2a + 2b - 2\).
Cách khác:
a = log3​15 = log3​(3.5)
= log3​3 + log3​5 = 1 + log3​5
Suy ra log3​5 = a – 1
b = log3​10 = log3​(2.5) = log3​2 + log3​5
Suy ra
log3​2 = b − log3​5
= b − (a − 1) = b – a + 1
Do đó:
log√3​50 = \(= {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}\left( {{{2.5}^2}} \right)\)  \(= 2{\log _3}\left( {{{2.5}^2}} \right)\) \(= 2\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}{5^2}} \right)\) \(= 2\left( {{{\log }_3}2 + 2{{\log }_3}5} \right)\)
= 2log3​2 + 4log3​5
= 2 (b – a + 1) + 4(a − 1)
= 2a + 2b − 2

Câu b​

Cho \(\displaystyle a = {\log _2}3, b = {\log _3}5, c = {\log _7}2\). Hãy tính \(\displaystyle{\log _{140}}63\) theo \(\displaystyle a, b, c\).
Phương pháp giải:
Thu gọn các số \(\displaystyle a, b\), từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện \(\displaystyle a, b\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\displaystyle{\log _{140}}63 = {\log _{140}}({3^2}. 7)\) \( = {\log _{140}}{3^2} + {\log _{140}}7\) \(\displaystyle = 2{\log _{140}}3 + {\log _{140}}7\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}140}} + \frac{1}{{{{\log }_7}140}}\)\(\displaystyle = \frac{2}{{{{\log }_3}({2^2}. 5.7)}} + \frac{1}{{{{\log }_7}({2^2}. 5.7)}}\)
\(= \frac{2}{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}} \) \(+ \frac{1}{{{{\log }_7}{2^2} + {{\log }_7}5 + {{\log }_7}7}}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5 + {{\log }_3}7}}\)\(\displaystyle + \frac{1}{{2{{\log }_7}2 + {{\log }_7}5 + 1}}\)
Từ đề bài suy ra:
\(\displaystyle{\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\)
\(\displaystyle{\log _7}5 = {\log _7}2.{\log _2}3.{\log _3}5 = cab\)
\(\displaystyle{\log _3}7 = \frac{1}{{{{\log }_7}3}} = \frac{1}{{{{\log }_7}2.{{\log }_2}3}} = \frac{1}{{ca}}\)
Vậy \(\displaystyle{\log _{140}}63\)\(\displaystyle = \frac{2}{{\frac{2}{a} + b + \frac{1}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + cab + 1}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{2}{{\frac{{2c + abc + 1}}{{ca}}}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}\\
= \frac{{2ca}}{{2c + abc + 1}} + \frac{1}{{2c + abc + 1}}
\end{array}\)
\(\displaystyle = \frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}\).