Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left( {{\rm{a}} - b} \right) + {b^3}\left({b - a} \right)\\ = \left({{\rm{a}} - b} \right)\left({{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right)\\ = {\left({{\rm{a}} - b} \right)^2}\left({{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right) \ge 0.\end{array}\)
(Vì \({a^2} + {b^2} + ab = {\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) và \({\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi a, b ∈ R)
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left({{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) (1)\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left({{\rm{a}} - b} \right)^2} + {\left({b - c} \right)^2} + {\left({c - a} \right)^2} \ge 0 (2)\end{array}\)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Câu a
\({a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}\) với mọi a, b ∈ R.Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left( {{\rm{a}} - b} \right) + {b^3}\left({b - a} \right)\\ = \left({{\rm{a}} - b} \right)\left({{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right)\\ = {\left({{\rm{a}} - b} \right)^2}\left({{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right) \ge 0.\end{array}\)
(Vì \({a^2} + {b^2} + ab = {\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) và \({\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi a, b ∈ R)
Câu b
\({\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left({{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) với mọi a, b, c ∈ R.Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left({{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right) (1)\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left({{\rm{a}} - b} \right)^2} + {\left({b - c} \right)^2} + {\left({c - a} \right)^2} \ge 0 (2)\end{array}\)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!