Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng : Nếu \(0 < a < b\) thì \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\)
Lời giải chi tiết
Do \(0 < a < b\) nên \(\dfrac{a}{b} < 1\) suy ra
\(a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2\) tức là \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.\) (1)
Lại có \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) nên \(\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .\) (2)
Do \(0 < a < b\) nên \(\sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.
Do \(0 < a < b\) nên \(\dfrac{a}{b} < 1\) suy ra
\(a\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) = 1 + \dfrac{a}{b} < 2\) tức là \(a < \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.\) (1)
Lại có \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \) nên \(\dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} < \sqrt {{\rm{a}}b} .\) (2)
Do \(0 < a < b\) nên \(\sqrt {{\rm{a}}b} < \dfrac{{a + b}}{2} < b.\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều cần chứng minh.