Google
Câu hỏi: Cho hai số a, b (a ≠ b). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(f\left( x \right) = {\left({x - a} \right)^2} + {\left({x - b} \right)^2} + {\left({x - c} \right)^2}\)
\(f\left( x \right) = {\left({x - a} \right)^2} + {\left({x - b} \right)^2} + {\left({x - c} \right)^2}\)
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{& f\left( x \right) = {\left({x - a} \right)^2} + {\left({x - - b} \right)^2} \cr & = 2{x^2} - 2\left({{\rm{a}} + b} \right)x + {a^2} + {b^2} \cr & = 2{\left({x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} + {{{{\left({{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}. \cr} \)
Ta có \(f\left( x \right) \ge {{{{\left({{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}\) với mọi a, b ; đẳng thức xảy ra khi \({\left( {x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Vậy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2}}}{2}\) tại \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\)
Chú ý. Tránh sai lầm khi suy luận rằng \((x - a)^2 + (x - b)^2 \ge 0\) với mọi \(x\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là 0.
\(\eqalign{& f\left( x \right) = {\left({x - a} \right)^2} + {\left({x - - b} \right)^2} \cr & = 2{x^2} - 2\left({{\rm{a}} + b} \right)x + {a^2} + {b^2} \cr & = 2{\left({x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} + {{{{\left({{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}. \cr} \)
Ta có \(f\left( x \right) \ge {{{{\left({{\rm{a}} - b} \right)}^2}} \over 2}\) với mọi a, b ; đẳng thức xảy ra khi \({\left( {x - {{a + b} \over 2}} \right)^2} = 0,\) tức là \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\) Vậy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{{{{\left( {{\rm{a}} - b} \right)}^2}}}{2}\) tại \(x = \dfrac{{a + b}}{2}.\)
Chú ý. Tránh sai lầm khi suy luận rằng \((x - a)^2 + (x - b)^2 \ge 0\) với mọi \(x\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là 0.