Google
Câu hỏi: Cho a, b, c là số đo ba cạnh; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác. Chứng minh rằng :
Phương pháp giải:
(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).
Giải chi tiết:
Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :
Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;
Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;
Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left({{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.
Phương pháp giải:
(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).
Giải chi tiết:
Theo câu a. Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left({{\rm{A}} - B} \right) + \left({b - c} \right)\left({B - C} \right) + \left({c - a} \right)\left({C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left({{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left({{\rm{a}} + b + c} \right)\left({{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)
Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.
Lại có
\(a + b > c; b + c > a; c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left({c + a} \right)B + \left({{\rm{a}} + b} \right)C\)
\(\Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left({{\rm{A}} + B + C} \right)\left({{\rm{a}} + b + c} \right)\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)
Câu a
\(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left({{\rm{A}} - B} \right) \ge 0\) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?Phương pháp giải:
(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).
Giải chi tiết:
Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :
Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;
Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;
Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left({{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.
Câu b
\(60^\circ \le \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?Phương pháp giải:
(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).
Giải chi tiết:
Theo câu a. Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left({{\rm{A}} - B} \right) + \left({b - c} \right)\left({B - C} \right) + \left({c - a} \right)\left({C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left({{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left({{\rm{a}} + b + c} \right)\left({{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)
Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.
Lại có
\(a + b > c; b + c > a; c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left({c + a} \right)B + \left({{\rm{a}} + b} \right)C\)
\(\Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left({{\rm{A}} + B + C} \right)\left({{\rm{a}} + b + c} \right)\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!