Google
Câu hỏi: Cho b, d là hai số dương và \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}.\) Chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}\)
\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}\)
Lời giải chi tiết
Từ \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\) và b, d là hai số dương, suy ra \(a{\rm{d}} < bc\) hay \(ad – bc < 0; bc – ad > 0.\)
Ta có \(\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{bc - a{\rm{d}}}}{{\left( {b + {\rm{d}}} \right)b}} > 0;\)
\(\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a{\rm{d}} - bc}}{{\left( {b + {\rm{d}}} \right)d}} < 0.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}.\)
Từ \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\) và b, d là hai số dương, suy ra \(a{\rm{d}} < bc\) hay \(ad – bc < 0; bc – ad > 0.\)
Ta có \(\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{bc - a{\rm{d}}}}{{\left( {b + {\rm{d}}} \right)b}} > 0;\)
\(\dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a{\rm{d}} - bc}}{{\left( {b + {\rm{d}}} \right)d}} < 0.\)
Vậy \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + c}}{{b + {\rm{d}}}} < \dfrac{c}{d}.\)