Google
Câu hỏi: Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(A = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}.\)
\(A = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}.\)
Lời giải chi tiết
Đặt \(b + c = x, c + a = y; a + b = z.\) Do \(a, b, c\) dương nên \(x, y, z\) dương và
\(a = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2}; b = \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2}; c = \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}.\) Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\rm{x}}}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{\rm{x}}}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{x} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{y} - 3} \right)\\ \ge \dfrac{1}{2}.\left({2.3 - 3} \right) = \dfrac{3}{2}.\end{array}\)
Học sinh tự giải tiếp.
Đặt \(b + c = x, c + a = y; a + b = z.\) Do \(a, b, c\) dương nên \(x, y, z\) dương và
\(a = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2}; b = \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2}; c = \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}.\) Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - x + y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} - y + {\rm{z}}}}{2} + \dfrac{{{\rm{x}} + y - z}}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\rm{x}}}{y} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{\rm{x}}}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{x} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{\rm{z}}}{y} - 3} \right)\\ \ge \dfrac{1}{2}.\left({2.3 - 3} \right) = \dfrac{3}{2}.\end{array}\)
Học sinh tự giải tiếp.