Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = \alpha > {90^0}.\) Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều \(ADF, ABE.\)
\(a)\) Tính \(\widehat {EAF}\)
\(b)\) Chứng minh rằng tam giác \(CEF\) là tam giác đều.
\(a)\) Tính \(\widehat {EAF}\)
\(b)\) Chứng minh rằng tam giác \(CEF\) là tam giác đều.
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau.
+) Trong tam giác đều, các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau và bằng \(60^o.\)
+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.
+) Tam giác có cạnh bằng nhau là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì \(\widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {EAF} + \widehat {FAD} = {360^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {FAD}} \right) \)
mà \(\widehat {BAD} = \alpha \) \((gt)\)
\(\widehat {BAE} = {60^0}\) (\(∆ BAE\) đều)
\(\widehat {FAD} = {60^0}\) (\(∆ FAD\) đều)
nên \(\widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\alpha + {{60}^0} + {{60}^0}} \right)\)\( = {240^0} - \alpha \)
\(b)\) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//DC\)
Suy ra \(\widehat {ADC} + \widehat {BAD} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
\(\Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \widehat {BAD} = {180^0} - \alpha\)
\( \widehat {CDF} = \widehat {ADC} + \widehat {ADF} \)\(= {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\)
Tam giác ABE đều nên \(AE=AB=EB\)
Tam giác ADF đều nên \(AD=DF\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB=DC,AD=BC\)
Suy ra \(AE=EB = DC\) (vì cùng bằng \(AB\)) và \(BC = DF\) (vì cùng bằng \(AD\))
Xét \(∆ AEF\) và \(∆ DCF:\)
\(AF = DF\) (vì \(∆ ADF\) đều)
\(AE = DC\) (cmt)
\(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\) (chứng minh trên)
Do đó \(∆ AEF = ∆ DCF (c.g.c)\)
\(⇒ EF = CF (1)\)
\(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {CBE} = \widehat {ABC} + {60^0} = \widehat {ADC} + {60^0}\)\( = {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \)
Xét \(∆ BCE\) và \(∆ DCF:\)
\(BE = CD\) (cmt)
\(\widehat {CBE} = \widehat {CDF} = {240^0} - \alpha \)
\(BC = DF\) (cmt)
Do đó: \(∆ BCE = ∆ DFC (c.g.c)\)
\(⇒ CE = CF (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra : \(EF = CF = CE.\) Vậy \(∆ ECF\) đều.
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau.
+) Trong tam giác đều, các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau và bằng \(60^o.\)
+) Trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.
+) Tam giác có cạnh bằng nhau là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Vì \(\widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {EAF} + \widehat {FAD} = {360^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {FAD}} \right) \)
mà \(\widehat {BAD} = \alpha \) \((gt)\)
\(\widehat {BAE} = {60^0}\) (\(∆ BAE\) đều)
\(\widehat {FAD} = {60^0}\) (\(∆ FAD\) đều)
nên \(\widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\alpha + {{60}^0} + {{60}^0}} \right)\)\( = {240^0} - \alpha \)
\(b)\) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//DC\)
Suy ra \(\widehat {ADC} + \widehat {BAD} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
\(\Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \widehat {BAD} = {180^0} - \alpha\)
\( \widehat {CDF} = \widehat {ADC} + \widehat {ADF} \)\(= {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\)
Tam giác ABE đều nên \(AE=AB=EB\)
Tam giác ADF đều nên \(AD=DF\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB=DC,AD=BC\)
Suy ra \(AE=EB = DC\) (vì cùng bằng \(AB\)) và \(BC = DF\) (vì cùng bằng \(AD\))
Xét \(∆ AEF\) và \(∆ DCF:\)
\(AF = DF\) (vì \(∆ ADF\) đều)
\(AE = DC\) (cmt)
\(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\) (chứng minh trên)
Do đó \(∆ AEF = ∆ DCF (c.g.c)\)
\(⇒ EF = CF (1)\)
\(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {CBE} = \widehat {ABC} + {60^0} = \widehat {ADC} + {60^0}\)\( = {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \)
Xét \(∆ BCE\) và \(∆ DCF:\)
\(BE = CD\) (cmt)
\(\widehat {CBE} = \widehat {CDF} = {240^0} - \alpha \)
\(BC = DF\) (cmt)
Do đó: \(∆ BCE = ∆ DFC (c.g.c)\)
\(⇒ CE = CF (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra : \(EF = CF = CE.\) Vậy \(∆ ECF\) đều.