Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(E,\) \(F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\) \(CD.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE,\) \(N\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE.\) Chứng minh rằng :
\(a)\) \(EMFN\) là hình bình hành.
\(b)\) Các đường thẳng \(AC,\) \(EF,\) \(MN\) đồng quy.
\(a)\) \(EMFN\) là hình bình hành.
\(b)\) Các đường thẳng \(AC,\) \(EF,\) \(MN\) đồng quy.
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//CD\) và \(AB=CD\) (tính chất)
Ta có: \(AE = EB = \dfrac{{AB}}{2}\) (vì E là trung điểm của AB)
\(DF= CF = \dfrac{{DC}}{2}\) (vì F là trung điểm của CD)
Mà \(AB=CD\) (cmt)
Suy ra \(AE=EB=DF=FC\)
Xét tứ giác \(AECF,\) có:
\(AE = CF\) (cmt)
\(AE // CF\) (do \(AB // CD )\)
Suy ra tứ giác \(AECF\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)
\(⇒ AF // CE\) hay \(EN // FM (1)\)
Xét tứ giác \(BFDE,\) có:
\(BE = DF\) (cmt)
\(BE // DF\) (do \(AB // CD\))
Suy ra tứ giác \(BFDE\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(⇒ BF // DE\) hay \(EM // FN (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (theo định nghĩa)
\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(EF\)
Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành \(⇒ OE = OF\)
Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: \(MN\) đi qua trung điểm \(O\) của \(EF\)
Vậy \(AC, EF, MN \) đồng quy tại \(O.\)
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
+) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB//CD\) và \(AB=CD\) (tính chất)
Ta có: \(AE = EB = \dfrac{{AB}}{2}\) (vì E là trung điểm của AB)
\(DF= CF = \dfrac{{DC}}{2}\) (vì F là trung điểm của CD)
Mà \(AB=CD\) (cmt)
Suy ra \(AE=EB=DF=FC\)
Xét tứ giác \(AECF,\) có:
\(AE = CF\) (cmt)
\(AE // CF\) (do \(AB // CD )\)
Suy ra tứ giác \(AECF\) là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)
\(⇒ AF // CE\) hay \(EN // FM (1)\)
Xét tứ giác \(BFDE,\) có:
\(BE = DF\) (cmt)
\(BE // DF\) (do \(AB // CD\))
Suy ra tứ giác \(BFDE\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
\(⇒ BF // DE\) hay \(EM // FN (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (theo định nghĩa)
\(b)\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(EF\)
Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành \(⇒ OE = OF\)
Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: \(MN\) đi qua trung điểm \(O\) của \(EF\)
Vậy \(AC, EF, MN \) đồng quy tại \(O.\)