Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC.\) Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại \(A\) là \(ABD, ACE.\) Vẽ hình bình hành \(ADIE.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(IA = BC.\)
\(b)\) \(IA ⊥ BC.\)
\(a)\) \(IA = BC.\)
\(b)\) \(IA ⊥ BC.\)
Phương pháp giải
\(a)\) Quy về bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau.
\(b)\) Quy về chứng minh \(\widehat {AHB} = {90^0}\)
+) Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^o\)
Lời giải chi tiết
\(a)\) \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\)
\(\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\) \((1)\)
Lại có \( AE // DI \) (do ADIE là hình bình hành)
\(⇒\) \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\)
Xét \(∆ ABC\) và \(∆ DAI :\)
\(AB = AD (gt)\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\) (chứng minh trên)
\(AC = DI\) (vì cùng bằng \(AE\))
Do đó: \(∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c)\)
\(⇒ IA = BC\)
\(b)\) \(∆ ABC = ∆ DAI\) ( chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) \((3)\)
Gọi giao điểm \(IA\) và \(BC\) là \(H.\)
Ta có: \({\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (do H, A, I thẳng hàng)
mà \(\widehat {BAD} = {90^0}(gt)\)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \({\widehat B_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)
Trong \(∆ AHB\) ta có: \(\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\)
Suy ra \(\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\) hay \(IA ⊥ BC\)
\(a)\) Quy về bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau.
\(b)\) Quy về chứng minh \(\widehat {AHB} = {90^0}\)
+) Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^o\)
Lời giải chi tiết
\(a)\) \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\)
\(\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\) \((1)\)
Lại có \( AE // DI \) (do ADIE là hình bình hành)
\(⇒\) \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\)
Xét \(∆ ABC\) và \(∆ DAI :\)
\(AB = AD (gt)\)
\(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\) (chứng minh trên)
\(AC = DI\) (vì cùng bằng \(AE\))
Do đó: \(∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c)\)
\(⇒ IA = BC\)
\(b)\) \(∆ ABC = ∆ DAI\) ( chứng minh trên)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) \((3)\)
Gọi giao điểm \(IA\) và \(BC\) là \(H.\)
Ta có: \({\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (do H, A, I thẳng hàng)
mà \(\widehat {BAD} = {90^0}(gt)\)
\( \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\) \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \({\widehat B_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)
Trong \(∆ AHB\) ta có: \(\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\)
Suy ra \(\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\) hay \(IA ⊥ BC\)